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Matemáticas alegres. Enseñanza a través del juego
El juego es un actividad universal que ha estado presente en todas las culturas y ha sido muy importante en el desarrollo de la Matemática. Es necesario reconocer su valor como medio para aprender y desarrollar capacidades. A continuación se explica por qué. Alan Bishop identifica el juego como una de las seis actividades del entorno cultural que impulsan el desarrollo de ideas matemáticas. Las otras cinco son contar, medir, localizar, diseñar y explicar. Según este autor, el juego promueve habilidades de comunicación, plantea desafíos, genera situaciones de incertidumbre y desarrolla el razonamiento matemático. Al mismo tiempo, obliga a definir reglas, ritmos y armonías, y permite crear un orden. La investigación de algunos juegos ha llevado a la creación de importantes teorías matemáticas. Recordemos que a partir de la solución de un acertijo, Leonhard Euler sentó las bases de la moderna y útil teoría de grafos; que los juegos de azar iniciaron el estudio de la probabilidad; y que el célebre matemático John Nash (cuya vida fue recreada en la películaA beautifull mind) recibió el premio Nobel por sus logros en el estudio de los juegos no cooperativos. Por ello, no debe sorprender el interés que matemáticos de renombre mostraron por el estudio de los rompecabezas, las paradojas, los juegos de estrategia y otras manifestaciones lúdicas. Jugando en clase En el aula, los juegos debidamente elegidos y dosificados son una nueva oportunidad de aprendizaje, y generan un contexto emocional y afectivo propicio para el desarrollo de ideas matemáticas. Con ellos se promueve el razonamiento matemático de forma natural y motivadora, se lleva sutilmente a los alumnos a investigar nuevas técnicas para resolver problemas, y se desarrolla en estos habilidades concretas de pensamiento estratégico, planificación, toma de decisiones, estimación y demostración. Asimismo, cuando los estudiantes juegan, el nivel de ansiedad baja, la comunicación fluye, el interés crece y la concentración permanece. Además de todo esto, la interacción lúdica facilita al maestro la tarea de medir el grado de comprensión de conceptos, la capacidad de poner en práctica determinados conocimientos, la habilidad para comunicar ideas y argumentar propuestas. Como vemos, en todos los niveles educativos los juegos pueden reemplazar ventajosamente algunos trabajos rutinarios por procesos de aprendizaje más activos. De ahí el valor de incluirlos sistemáticamente en un programa de Matemática. ¿Qué juegos utilizar? ¿Cuándo y cómo hacerlo? Una adecuada selección de juegos es un recurso que todo docente debe manejar. Algunos países han integrado en los colegios ludotecas o clubes de Matemática, donde los estudiantes juegan e investigan partiendo de materiales cuidadosamente seleccionados. Periódicamente se puede incorporar algún juego relacionado con el tema que se está tratando con el fin de reforzar las capacidades y los conceptos estudiados, así como para evaluar el aprendizaje de los estudiantes. La clasificación propuesta puede ayudar a hacer una adecuada selección de juegos para la didáctica: CLASE TIPO DESCRIPCIÓN JUEGOS DE ENSEÑANZA Juegos preinstruccionales Activan conocimientos previos, preparan el camino hacia el concepto que se va a trabajar. Juegos instruccionales Presentan los conceptos desde distintas perspectivas y ayudan al tránsito de lo concreto a lo abstracto. Generalmente estos juegos utilizan una combinación de representaciones (pictóricas, concretas, simbólicas). Juegos postinstruccionales Planteados para adquirir destrezas o profundizar en un determinado concepto, suelen ser básicamente simbólicos, y aprovechan todo lo aprendido para que el alumno lo ponga en práctica de manera creativa e integradora. JUEGOS DE ESTRATEGIA Juegos de estrategia pura No tienen elementos de azar. La partida se define en un numero finito de jugadas. En todo momento los jugadores tienen información total sobre el estado de la partida. Juegos como el ajedrez, el máncala y el nim son ejemplo de ellos. Juegos mixtos Combinan estrategias con elementos de azar. Por ejemplo, backgammon, ludo aritmético, entre otros. ENIGMAS Acertijos matemáticos Situaciones cuyo enunciado promueve interés por presentar un lado misterioso o enigmático. Pueden ser aritméticos, lógicos, geométricos, o gráficos. Rompecabezas mecánicos Retos de base matemática con un soporte concreto. Ejemplos son el tangram, la torre de Hanoi, el cubo soma. Problemas de pensamiento lateral Relatos que presentan una situación aparentemente absurda, pero que desde novedosos puntos de vista tienen sentido lógico. Matemagia Juegos de magia de base matemática. Falacias Proposiciones falsas que se establecen luego de una cadena deductiva de pasos aparentemente justificados. La unión hace la fuerza Actualmente es muy difícil trabajar e investigar solitariamente. Basta ver las revistas especializadas en investigación para comprobar que, a diferencia de lo que sucedía en el pasado, la mayoría de trabajos de envergadura son realizados por grupos multidisciplinarios de estudiosos que intercambian conocimientos. Hace unos años, las clases de Matemática estaban muy distantes de este tipo de trabajo. Se realizaban en el más absoluto silencio, con cada alumno perfectamente ubicado en su carpeta y sin posibilidad de comentar sus ideas ni de intercambiar experiencias. Hoy, sin embargo, la mayoría de especialistas recomienda y promueve el uso del aprendizaje cooperativo, ya que este resulta más eficiente y productivo que el trabajo individual. Aquí algunas de las razones: 1. El trabajo grupal disminuye el tamaño de la clase. Si esta tuviera treinta estudiantes, y estos son organizados en grupos de cinco, la clase se reduciría a seis grupos: cuando una mano se levante sabremos que hay cinco interesados esperando una orientación. 2. A través de la verbalización, los estudiantes aprenden no solo cómo hacer preguntas exploratorias, sino también a explicar sus propios procesos de razonamiento. Muchos estudiantes que nunca hubieran podido plantear una duda frente a cuarenta personas son motivados, y se deciden a preguntar dentro de su grupo. 3. El trabajo en grupo promueve el razonamiento creativo, y hace que cada alumno se sienta seguro de usar métodos de ensayo-error. 4. El ambiente abierto y de apoyo reduce fuertemente la ansiedad. 5. Los estudiantes y el profesor entran rápidamente en un proceso de retroalimentación. De este modo, el docente se convierte también en un aprendiz de su propia pedagogía. Para más información Dialnet. Sitio web dentro de la Universidad de La Rioja que alberga artículos, investigaciones e información acerca del profesor Alan Bishop. http://dialnet.unirioja.es Juegos numéricos. Sitio web que ofrece diversos tipos de juegos para la enseñanza de las matemáticas. http://redescolar.ilce.edu.mx

LOS TRES GATOS

LOS TRES GATOS

Si tres gatos atrapan tres ratas en tres minutos, ¿cuántos gatos atraparán 100 ratas en 100 minutos?

SOLUCIÓN

La respuesta usual de este viejo acertijo es la siguiente: si a tres gatos les lleva tres minutos atrapar tres ratas, debe llevarles un minuto atrapar, cada rata. Y si les lleva un minuto cazar una rata, entonces los mismos tres gatos cazarán 100 ratas en 100 minutos.

Desafortunadamente, no es tan simple; esa respuesta presupone algo que por cierto no está expresado en el problema. Supone que los tres gatos han concentrado su atención en la misma rata hasta cazarla en un minuto, para luego dedicarse en conjunto a otra rata. Pero supongamos que en vez de hacer eso cada gato cace una rata diferente, y le lleve tres minutos atraparla. En ese caso, tres gatos seguirían cazando tres ratas en tres minutos. Les llevaría seis minutos cazar seis ratas, nueve minutos cazar nueve ratas, y 99 minutos cazar 99 ratas.

Ahora debemos enfrentar una curiosa dificultad. ¿Cuánto tiempo les llevará a esos mismos tres gatos cazar la rata número 100? Si les sigue insumiendo tres minutos la cacería, entonces los tres gatos demorarán 102 minutos para cazar las 100 ratas. Para cazar cien ratas en cien minutos - suponiendo que sea ésa la manera en la que los gatos cazan a sus ratas- por cierto necesitaremos más de tres gatos y menos de cuatro.

Por supuesto, es posible que cuando los tres gatos se concentran sobre la misma rata, tal vez puedan acorralarla en menos de tres minutos, pero nada en el enunciado del problema nos dice de qué modo podemos medir exactamente el tiempo que demandará esa operación. La única respuesta correcta al problema, entonces, es ésta: la pregunta es ambigua y no puede responderse si no se da más información acerca de la manera en que esos gatos cazan ratas.

EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES

El arte de plantear ecuaciones.

El idioma del álgebra es la ecuación. "Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico», escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción. He aquí uno de ellos:

En la lengua vernácula En el idioma del álgebra

Un comerciante tenía una determinada suma

de dinero X

El primer año se gastó 100 libras X - 100

Aumentó el resto con un tercio de éste (X - 100)+1/3 (X-100)=1/3(4X-400)

Al año siguiente volvió a gastar 100 libras 1/3 (4X-400)-100=1/3(4X-700)

y aumentó la suma restante en un tercio de ella 1/3(4X - 700)+1/9 (4X-700)=1/9(16X-2800)

El tercer año gastó de nuevo 100 libras 1/9(16X-2800)-100=1/9(16X-3700)

Después de que hubo agregado su tercera 1/9(16X-3700)+1/27 (16X-3700)=1/27(64X-14800)

parte

el capital llegó al doble del inicial 1/27(64X-14800)=2X

Solución

Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última ecuación.

La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil. Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir "la lengua vernáculo a la algebraica". Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad, como puede convencerse el lector a la vista de los ejemplos de ecuación de primer grado expuestos.

POESIA AL NUMERO PI

El Número Pi

(Poema de Wislawa Szymborska)

El número Pi es digno de admiración
tres coma uno cuatro uno
todas sus cifras siguientes también son iniciales
cinco nueve dos, porque nunca se termina.

No permite abarcarlo con la mirada seis cinco tres cinco
con un cálculo ocho nueve
con la imaginación siete nueve
o en broma tres dos tres, es decir, por comparación
cuatro seis con cualquier otra cosa
dos seis cuatro tres en el mundo.

La más larga serpiente después
de varios metros se interrumpe
Igualmente, aunque un poco más tarde,
hacen las serpientes fabulosas.

El cortejo de cifras que forman el número Pi
no se detiene en el margen de un folio,
es capaz de prolongarse por la mesa, a través del aire,
a través del muro, de una hoja, del nido de un pájaro,
de las nubes, directamente al cielo
a través de la total hinchazón e inmensidad del cielo.

¡Oh qué corta es la cola del cometa, como la de un ratón!

¡Qué frágil el rayo de la estrella
que se encorva en cualquier espacio!

Pero aquí dos tres quince trescientos noventa
mi número de teléfono la talla de tu camisa
año mil novecientos setenta y tres sexto piso
número de habitantes sesenta y cinco décimos
la medida de la cadera dos dedos la charada y el código
en la que mi ruiseñor vuela y canta
y pide un comportamiento tranquilo
también transcurren la tierra y el cielo
pero no el número Pi, éste no,
él es todavía un buen cinco
no es un ocho cualquiera
ni el último siete
metiendo prisa, oh, metiendo prisa a la perezosa eternidad
para la permanencia.

_________

Fuente: Planeta matemático.

POTENCIAS

Para hallar la potencia de un número utilizamos, generalmente, casi siempre, la definición depotenciación. Esto es :

Dado y

Sin embargo, a veces no nos percatamos que existe otra manera poco usual de hallar lapotencia cuadrática de un número sin utilizar explícitamente dicha definición. Por ejemplo:

Uno más:

¿Qué extraño, no? Bueno, lo que sucede es que en estos ejemplos hemos utilizado un descubrimiento muy curioso, que nos ha quedado como herencia gracias al gran Pitágoras.

Pitágoras descubrió que existía otra forma de hallar la potencia cuadrática de un número. Este proceso consiste en sumar todos los números impares empezando de la unidad hasta cubrir la cantidad de números que sean igual a la base dada. Simbólicamente:

es equivalente a la suma de los primeros números naturales impares.

Parece que toda va bien, pero el método falla cuando tratamos de calcular lo siguiente, por ejemplo:

La respuesta es obvia. No podemos utilizar el método de Pitágoras porque la base no es un número natural.

Otro uso. El método de Pitágoras generalmente se utiliza para calcular la suma de los primeros números naturales. Así tenemos:

Cuya demostración se realiza utilizando el método de demostración por inducción.

Fuente: Só matemática.