CLASES DE NÚMEROS tomado del blog de Gausiano

Los números, esos fieles compañeros que nos acompañan en todos los momentos de nuestra vida. Conocemos muchos tipos de números, ya sea porque los usamos a diario o porque los hemos visto en algún documento libro (o, por qué no, en este blog): los naturales (0, 1, 2, 3,…), los enteros (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…), los racionales (todo número que puede ponerse en froma de fracción), los irracionales (todo número que no puede ponerse en forma de fracción), los reales (el conjunto de todos los anteriores), los complejos…

Pero podemos calificar a los números de muchas otras maneras. Hay muchas propiedades de los números que hacen que cuando alguno las cumple se le denomine de cierta forma. En este post vamos a ver unas cuantas:

• Número primo: todo número natural mayor que 1 que cumple que sus únicos divisores son el 1 y el propio número. Ejemplos: 2, 3, 5,… Éste es el más grande que se conoce.
• Número compuesto: todo número natural mayor que 1 que no es primo. Ejemplos: 4, 6, 10, …
• Número primo probable: todo número del cual no se sabe si es primo o no pero que verifica alguna condición que verifican todos los números primos
• Número pseudoprimo: todo primo probable que acaba siendo compuesto.
• Número perfecto: todo número natural que es igual a la suma de sus divisores propios (es decir, todos sus divisores excepto el propio número). Por ejemplo, 6 es un número perfecto ya que sus divisores propios son 1, 2, y 3 y se cumple que 1+2+3=6. Los números 28, 496 y 8128 también son perfectos.
• Número semiperfecto: todo número natural que cumple que es igual a la suma de algunos de sus divisores propios. Por ejemplo, 18 es semiperfecto ya que sus divisores son 1, 2, 3, 6, 9 y se cumple que 3+6+9=18.

• Número abundante: todo número natural que cumple que la suma de sus divisores propios es mayor que el propio número. Por ejemplo, 12 es abundante ya que sus divisores son 1, 2, 3, 4 y 6 y se cumple que 1+2+3+4+6=16, que es mayor que el propio 12.
• Número deficiente: todo número natural que cumple que la suma de sus divisores propios es menor que el propio número. Por ejemplo, 16 es un número deficiente ya que sus divisores propios son 1, 2, 4 y 8 y se cumple que 1+2+4+8=15, que es menor que 16.
• Números amigos: parejas de números que cumplen que la suma de los divisores propios de cada uno de ellos da como resultado el otro número. Por ejemplo, 220 y 284 son números amigos.
• Números sociables: cumplen lo mismo que los números amigos pero en vez de ir en parejas van en grupos más grandes. La suma de los divisores del primer número da el segundo, la suma de los del segundo da el tercero, y así sucesivamente. La suma de los divisores del último da el primer número de la lista. Por ejemplo los números 12496, 14288, 15472, 14536 y 14264 son números sociables.
• Número apocalíptico: todo número natural n que cumple que 2n contiene la secuencia 666. Por ejemplo, los números 157 y 192 son números apocalípticos.
• Número ambicioso: todo número que cumple que la secuencia que se forma al sumar sus divisores propios, después los divisores propios del resultado de esa suma, después los del número obtenido…acaba en un número perfecto. Por ejemplo, 25 es un aspiring number ya que sus divisores propios son 1 y 5 y se cumple que 1+5=6, que es un número perfecto.
• Número curioso: todo número natural n que cumple que n2 tiene al propio n como última cifra. Por ejemplo, 25 y 36 son números curiosos.
• Número de Carmichael: todo número compuesto n que cumpla que bn-1 ≡ 1 (mod (n)) (véase Congruencias) .para todo natural b que sea primo relativo con n. Por ejemplo, 561 y 1105 son números de Carmichael.
• Cuadrado: todo número natural que es el cuadrado de otro número natural. Por ejemplo, 9 es un cuadrado ya que 9=32.
• Cubo: todo número natural que es el cubo de otro número natural. Por ejemplo, 125 es un cubo ya que 125=53.
• Número malvado: todo número natural cuya expresión en base 2 (binaria) contiene un número par de unos. Por ejemplo, y 15 son números malvados ya que 12=11002 y 15=11112.
• Número feliz: todo número natural que cumple que si sumamos los cuadrados de sus dígitos y seguimos el proceso con los resultados obtenidos el resultado es 1. Por ejemplo, el número 203 es un número feliz ya que 22+02+32=13; 12+32=10; 12+02=1.
• Número infeliz: todo número natural que no es un número feliz. Por ejemplo, el número 16 es un número infeliz.
• Número hambriento: el k-ésimo número hambriento es el más pequeño número natural nque cumple que 2n contiene los primeros k dígitos de Pi. Los primeros números hambrientos son: 5, 17, 74, 144, 144, 2003,…
• Número afortunado: Tomemos la secuencia de todos los naturales a partir del 1: 1, 2, 3, 4, 5,… Tachemos los que aparecen en las posiciones pares. Queda: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,… Como el segundo número que ha quedado es el 3 tachemos todos los que aparecen en las posiciones múltiplo de 3. Queda: 1, 3, 7, 9, 13,… Como el siguiente número que quedó es el 7 tachamos ahora todos los que aparecen en las posiciones múltiplos de 7. Así sucesivamente. Los números que sobreviven se denominan números afortunados.
• Número de Fermat: todo número natural de la forma 22n+1 para algún n. Si ese número resulta ser primo se denomina primo de Fermat.
• Número de Mersenne: todo número natural de la forma 2p-1, siendo p un número primo. Si ese número resulta ser primo se denomina primo de Mersenne.
• Número narcisista: todo número de k dígitos que cumple que es igual a la suma de las potencias k de sus dígitos es un número narceisita. Por ejemplo, 153 es un número narcisita de 3 dígitos, ya que 13+53+33=153.
• Número odioso: todo número cuya expresión en base 2 (binaria) contiene un número impar de unos. Por ejemplo, 11=10112 es un número odioso.
• Número palindrómico: número natural que se lee igual de derecha a izquierda y de izquierda a derecha. Por ejemplo 1348431.
• Número poderoso: todo número natural n que cumple que si un primo p es un divisor suyo entonces p2 también lo es. Por ejemplo, el número 36 es un número poderoso ya que los únicos primos que son divisores suyos son 2 y 3 y se cumple que 4 y 9 también son divisores de 36.
• Número oblongo: todo número natural que cumple que es el producto de dos naturales consecutivos. Por ejemplo, los números 30, 42 y 56 son pronic numbers:
• Número repunit: todo número natural que está formado solamente por unos: 1, 11, 111, 1111,…
• Número de Smith: todo número natural que cumple que la suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos de sus divisores primos contando su multiplicidad (es decir, el número de veces que aparece cada uno de ellos). Por ejemplo, el número 27 es un número de Smith ya que 2+7=9 y su único divisor primo es 3, que aparece tres veces, y por tanto 3+3+3=9.
• Número libre de cuadrados: todo número natural que cumple que en su descomposición en factores primos no aparece ningún factor repetido. Por ejemplo, el número 30 es un número libre de cuadrados.
• Número ondulado: todo número natural de la forma ababab…. Por ejemplo, los números 121 y 13131 son números ondulados.
• Número intocable: todo número natural que no es la suma de los divisores propios de ningún número. Por ejemplo, los número 52 y 88 son números intocables.
• Número vampiro: todo número natural para el cual exista una factorización formada por lo dígitos del propio número. Por ejemplo, el número 126 es un número vampiro ya que lo podemos factorizar así: 126=21·6.
• Número raro: todo número natural que es abundante pero que no es igual a la suma de ningún subconjunto de sus divisores propios. Por ejemplo, los número 70 y 836 son raros.

Si se os ocurre alguno que no esté por aquí comentadlo y lo pondremos.

PROBLEMA DE LAS VACAS Y EL PASTO QUE COMEN

LAS VACAS EN EL PRADO

PROBLEMA

"Al estudiar las ciencias, los ejercicios son más útiles que las reglas",escribía Newton en su Aritmética Universal, y acompañaba las indicaciones teóricas con una serie de ejemplos. Entre

ellos hallamos el de los toros que pastan en el prado, que generó un tipo específico de problemas semejantes a éste:

"La hierba crece en todo el prado con igual rapidez y espesura. Se sabe que 70 vacas se la comerían en 24 días, y 30, en 60 días. ¿Cuántas vacas se comerían toda la hierba en 96 días?".

Este problema sirvió de argumento para un cuento humorístico, que recuerda el Maestro particular de Chéjov. Dos adultos, familiares del escolar a quien habían encargado resolver este problema, se esforzaban inútilmente por hallar su solución y se asombraban:

- ¡Qué extraño es el resultado! - dijo uno - .

Si en 24 días 70 vacas se comen la hierba, entonces, ¿cuántas vacas se la comerán en 96 días? Claro que 1 / 4 de 70, es decir, 17 1 / 2 vacas...

¡Este es el primer absurdo!

El segundo todavía más extraño, es que si 30 vacas se comen la hierba en 60 días, en 96 se la comerán 18 3 / 4 vacas. Además, si 70 vacas se comen la hierba en 24 días, 30 vacas emplean en ello 56 días, y no 60, como afirma el problema.

- ¿Pero tiene usted en cuenta que la hierba crece sin cesar? - preguntó otro.

La observación era razonable; la hierba crece incesantemente, circunstancia que no puede echarse en olvido, pues en ese caso no sólo no puede resolverse el problema, sino que sus mismas condiciones parecerán contradictorias.

¿Cómo debe resolverse pues, el problema?

Solución

Introduzcamos también aquí una segunda incógnita, que representará el crecimiento diario de la hierba, expresado en partes de las reservas de la misma en el prado. En una jornada hay un crecimiento de y; en 24 días será 24y. Si tomamos todo el pasto como 1, entonces, en 24 días las vacas se comerán

1 + 24y

En una jornada las 70 vacas comerán

(1 + 24y) / 24

y una vaca (de las 70) comerá

(1 + 24y) / (24 * 70)

Siguiendo el mismo razonamiento: si 30 vacas acaban con toda la hierba del prado en 60 días, una vaca comerá en un día

1 + 60y / (30 * 60)

Pero la cantidad de hierba comida por una vaca en un solo día es igual para los dos rebaños. Por eso

(1 + 24y) / (24 * 70) = (1 + 60y) / (30 * 60)

de donde

y = 1 / 480

Cuando se halla y (medida de crecimiento) es ya fácil determinar qué parte de la reserva inicial se come una vaca al día

(1 + 24y) / (24 * 70) = (1 + 24 / 480) / (24 * 70) = 1 / 1600

Por último establecemos la ecuación para la solución definitiva del problema: si el número de vacas es x, entonces,

{1 + (96 / 480)} / 96x = 1600

de donde x = 20

20 vacas se comerían toda la hierba en 96 días.

NUMEROS NARCISISTAS

NÚMEROS NARCISISTAS

Un número narcisista es aquel que es igual a la suma de cada uno de sus dígitos elevados a la "n" potencia (donde "n" es el número de cifras del número). La metáfora de su nombre alude a lo mucho que parecen "quererse a sí mismos" estas cifras. Por ejemplo, el 153 es un número narcisista puesto que 1³+ 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27 = 153. Los primeros números narcisistas son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474 y 54748.

El número narcisista más grande que se conocese obtiene elevando cada uno de sus dígitos a la potencia 39 y sumando los resultados: 115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401.

Por cierto, que el número narcisista 153 tiene más particularidades, por ejemplo que el binario que corresponde a 153 es el capicúa 10011001.

ASI PIENSAN LOS ESTUDIANTES DE LAS CLASES DE MATEMATICAS

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Matemáticas alegres. Enseñanza a través del juego
El juego es un actividad universal que ha estado presente en todas las culturas y ha sido muy importante en el desarrollo de la Matemática. Es necesario reconocer su valor como medio para aprender y desarrollar capacidades. A continuación se explica por qué. Alan Bishop identifica el juego como una de las seis actividades del entorno cultural que impulsan el desarrollo de ideas matemáticas. Las otras cinco son contar, medir, localizar, diseñar y explicar. Según este autor, el juego promueve habilidades de comunicación, plantea desafíos, genera situaciones de incertidumbre y desarrolla el razonamiento matemático. Al mismo tiempo, obliga a definir reglas, ritmos y armonías, y permite crear un orden. La investigación de algunos juegos ha llevado a la creación de importantes teorías matemáticas. Recordemos que a partir de la solución de un acertijo, Leonhard Euler sentó las bases de la moderna y útil teoría de grafos; que los juegos de azar iniciaron el estudio de la probabilidad; y que el célebre matemático John Nash (cuya vida fue recreada en la películaA beautifull mind) recibió el premio Nobel por sus logros en el estudio de los juegos no cooperativos. Por ello, no debe sorprender el interés que matemáticos de renombre mostraron por el estudio de los rompecabezas, las paradojas, los juegos de estrategia y otras manifestaciones lúdicas. Jugando en clase En el aula, los juegos debidamente elegidos y dosificados son una nueva oportunidad de aprendizaje, y generan un contexto emocional y afectivo propicio para el desarrollo de ideas matemáticas. Con ellos se promueve el razonamiento matemático de forma natural y motivadora, se lleva sutilmente a los alumnos a investigar nuevas técnicas para resolver problemas, y se desarrolla en estos habilidades concretas de pensamiento estratégico, planificación, toma de decisiones, estimación y demostración. Asimismo, cuando los estudiantes juegan, el nivel de ansiedad baja, la comunicación fluye, el interés crece y la concentración permanece. Además de todo esto, la interacción lúdica facilita al maestro la tarea de medir el grado de comprensión de conceptos, la capacidad de poner en práctica determinados conocimientos, la habilidad para comunicar ideas y argumentar propuestas. Como vemos, en todos los niveles educativos los juegos pueden reemplazar ventajosamente algunos trabajos rutinarios por procesos de aprendizaje más activos. De ahí el valor de incluirlos sistemáticamente en un programa de Matemática. ¿Qué juegos utilizar? ¿Cuándo y cómo hacerlo? Una adecuada selección de juegos es un recurso que todo docente debe manejar. Algunos países han integrado en los colegios ludotecas o clubes de Matemática, donde los estudiantes juegan e investigan partiendo de materiales cuidadosamente seleccionados. Periódicamente se puede incorporar algún juego relacionado con el tema que se está tratando con el fin de reforzar las capacidades y los conceptos estudiados, así como para evaluar el aprendizaje de los estudiantes. La clasificación propuesta puede ayudar a hacer una adecuada selección de juegos para la didáctica: CLASE TIPO DESCRIPCIÓN JUEGOS DE ENSEÑANZA Juegos preinstruccionales Activan conocimientos previos, preparan el camino hacia el concepto que se va a trabajar. Juegos instruccionales Presentan los conceptos desde distintas perspectivas y ayudan al tránsito de lo concreto a lo abstracto. Generalmente estos juegos utilizan una combinación de representaciones (pictóricas, concretas, simbólicas). Juegos postinstruccionales Planteados para adquirir destrezas o profundizar en un determinado concepto, suelen ser básicamente simbólicos, y aprovechan todo lo aprendido para que el alumno lo ponga en práctica de manera creativa e integradora. JUEGOS DE ESTRATEGIA Juegos de estrategia pura No tienen elementos de azar. La partida se define en un numero finito de jugadas. En todo momento los jugadores tienen información total sobre el estado de la partida. Juegos como el ajedrez, el máncala y el nim son ejemplo de ellos. Juegos mixtos Combinan estrategias con elementos de azar. Por ejemplo, backgammon, ludo aritmético, entre otros. ENIGMAS Acertijos matemáticos Situaciones cuyo enunciado promueve interés por presentar un lado misterioso o enigmático. Pueden ser aritméticos, lógicos, geométricos, o gráficos. Rompecabezas mecánicos Retos de base matemática con un soporte concreto. Ejemplos son el tangram, la torre de Hanoi, el cubo soma. Problemas de pensamiento lateral Relatos que presentan una situación aparentemente absurda, pero que desde novedosos puntos de vista tienen sentido lógico. Matemagia Juegos de magia de base matemática. Falacias Proposiciones falsas que se establecen luego de una cadena deductiva de pasos aparentemente justificados. La unión hace la fuerza Actualmente es muy difícil trabajar e investigar solitariamente. Basta ver las revistas especializadas en investigación para comprobar que, a diferencia de lo que sucedía en el pasado, la mayoría de trabajos de envergadura son realizados por grupos multidisciplinarios de estudiosos que intercambian conocimientos. Hace unos años, las clases de Matemática estaban muy distantes de este tipo de trabajo. Se realizaban en el más absoluto silencio, con cada alumno perfectamente ubicado en su carpeta y sin posibilidad de comentar sus ideas ni de intercambiar experiencias. Hoy, sin embargo, la mayoría de especialistas recomienda y promueve el uso del aprendizaje cooperativo, ya que este resulta más eficiente y productivo que el trabajo individual. Aquí algunas de las razones: 1. El trabajo grupal disminuye el tamaño de la clase. Si esta tuviera treinta estudiantes, y estos son organizados en grupos de cinco, la clase se reduciría a seis grupos: cuando una mano se levante sabremos que hay cinco interesados esperando una orientación. 2. A través de la verbalización, los estudiantes aprenden no solo cómo hacer preguntas exploratorias, sino también a explicar sus propios procesos de razonamiento. Muchos estudiantes que nunca hubieran podido plantear una duda frente a cuarenta personas son motivados, y se deciden a preguntar dentro de su grupo. 3. El trabajo en grupo promueve el razonamiento creativo, y hace que cada alumno se sienta seguro de usar métodos de ensayo-error. 4. El ambiente abierto y de apoyo reduce fuertemente la ansiedad. 5. Los estudiantes y el profesor entran rápidamente en un proceso de retroalimentación. De este modo, el docente se convierte también en un aprendiz de su propia pedagogía. Para más información Dialnet. Sitio web dentro de la Universidad de La Rioja que alberga artículos, investigaciones e información acerca del profesor Alan Bishop. http://dialnet.unirioja.es Juegos numéricos. Sitio web que ofrece diversos tipos de juegos para la enseñanza de las matemáticas. http://redescolar.ilce.edu.mx