EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES

El arte de plantear ecuaciones.

El idioma del álgebra es la ecuación. "Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico», escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción. He aquí uno de ellos:

En la lengua vernácula En el idioma del álgebra

Un comerciante tenía una determinada suma

de dinero X

El primer año se gastó 100 libras X - 100

Aumentó el resto con un tercio de éste (X - 100)+1/3 (X-100)=1/3(4X-400)

Al año siguiente volvió a gastar 100 libras 1/3 (4X-400)-100=1/3(4X-700)

y aumentó la suma restante en un tercio de ella 1/3(4X - 700)+1/9 (4X-700)=1/9(16X-2800)

El tercer año gastó de nuevo 100 libras 1/9(16X-2800)-100=1/9(16X-3700)

Después de que hubo agregado su tercera 1/9(16X-3700)+1/27 (16X-3700)=1/27(64X-14800)

parte

el capital llegó al doble del inicial 1/27(64X-14800)=2X

Solución

Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última ecuación.

La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil. Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir "la lengua vernáculo a la algebraica". Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad, como puede convencerse el lector a la vista de los ejemplos de ecuación de primer grado expuestos.

POESIA AL NUMERO PI

El Número Pi

(Poema de Wislawa Szymborska)

El número Pi es digno de admiración
tres coma uno cuatro uno
todas sus cifras siguientes también son iniciales
cinco nueve dos, porque nunca se termina.

No permite abarcarlo con la mirada seis cinco tres cinco
con un cálculo ocho nueve
con la imaginación siete nueve
o en broma tres dos tres, es decir, por comparación
cuatro seis con cualquier otra cosa
dos seis cuatro tres en el mundo.

La más larga serpiente después
de varios metros se interrumpe
Igualmente, aunque un poco más tarde,
hacen las serpientes fabulosas.

El cortejo de cifras que forman el número Pi
no se detiene en el margen de un folio,
es capaz de prolongarse por la mesa, a través del aire,
a través del muro, de una hoja, del nido de un pájaro,
de las nubes, directamente al cielo
a través de la total hinchazón e inmensidad del cielo.

¡Oh qué corta es la cola del cometa, como la de un ratón!

¡Qué frágil el rayo de la estrella
que se encorva en cualquier espacio!

Pero aquí dos tres quince trescientos noventa
mi número de teléfono la talla de tu camisa
año mil novecientos setenta y tres sexto piso
número de habitantes sesenta y cinco décimos
la medida de la cadera dos dedos la charada y el código
en la que mi ruiseñor vuela y canta
y pide un comportamiento tranquilo
también transcurren la tierra y el cielo
pero no el número Pi, éste no,
él es todavía un buen cinco
no es un ocho cualquiera
ni el último siete
metiendo prisa, oh, metiendo prisa a la perezosa eternidad
para la permanencia.

_________

Fuente: Planeta matemático.

POTENCIAS

Para hallar la potencia de un número utilizamos, generalmente, casi siempre, la definición depotenciación. Esto es :

Dado y

Sin embargo, a veces no nos percatamos que existe otra manera poco usual de hallar lapotencia cuadrática de un número sin utilizar explícitamente dicha definición. Por ejemplo:

Uno más:

¿Qué extraño, no? Bueno, lo que sucede es que en estos ejemplos hemos utilizado un descubrimiento muy curioso, que nos ha quedado como herencia gracias al gran Pitágoras.

Pitágoras descubrió que existía otra forma de hallar la potencia cuadrática de un número. Este proceso consiste en sumar todos los números impares empezando de la unidad hasta cubrir la cantidad de números que sean igual a la base dada. Simbólicamente:

es equivalente a la suma de los primeros números naturales impares.

Parece que toda va bien, pero el método falla cuando tratamos de calcular lo siguiente, por ejemplo:

La respuesta es obvia. No podemos utilizar el método de Pitágoras porque la base no es un número natural.

Otro uso. El método de Pitágoras generalmente se utiliza para calcular la suma de los primeros números naturales. Así tenemos:

Cuya demostración se realiza utilizando el método de demostración por inducción.

Fuente: Só matemática.

EJERCICIOS DIVERSOS DE GEOMETRIA ANALITICA

LINEA RECTA

Calcule la pendiente m y la ecuación general de la recta que pasa respectivamente por los puntos dados a continuación. Grafique y concluya que sucede con la grafica a medida que m cambia (Clase de Línea).

1. A : (3, 2) y B : (5,-4)

2. A : (4,-1) y B : (-6,-3)

3. A : (2,5) y B : -(7, 5)

4. A : (5,-1) y B : (-5, 6)

5. A : (-3, 2) y B : (-3, 5)

6. A : (4,-2) y B : (-3,-2)

7. A : (6,-7) y B : (1, 9)

8. A : (2,7) y B : (-5, 8)

9. A : (12,-3) y B : (6,-5)

10. A : (4,-5) y B : (-3, 6).

Trace la recta que pasa por P, para cada valor de m.

11. P : (-3,1); m ½, 1/5, -3

12. P : (-2, 4); m -1, -2, -1/2

13. Dada la recta: kx - y = k + 3 , determine un valor de k para que el punto P (-3, 7) pertenezca a dicha recta.

Obtenga en forma general la ecuación de la recta que pasa por el punto A y que satisfaga la condición dada.

14. A : (2,-1) y su pendiente sea -1/2

15. A : (-1, 9) y su pendiente sea 3/4

16. A : (-3, 5); paralela a la recta x + 3= y - 1.

17. A : (7,-3); perpendicular a la recta 2x + 5y = 8.

18. A : (5,-2) perpendicular al eje y.

19. A : (-4, 2) paralela al eje x.

20. A : (-1, 4); pendiente 2/3

Calcule la pendiente m y la ecuación general de la recta que pasa respectivamente por los puntos dados a continuación. Grafique y concluya que sucede con la grafica a medida que m cambia.

21. A:(2,5) y B : (-7, 5)

22. A : (-3, 2) y B : (-3, 5)

23. Obtenga en forma general la ecuación de la recta que pasa por el punto A y que satisfaga la condición dada.

A: (-7,-3); perpendicular a la recta 2x - 5y = 8.

PREGUNTAS 24 y 35 SON DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA

24. La ecuación de la línea recta que pasa por el punto (-3,0) y es paralela a la recta Y – X = 3 es:

A. X – Y + 3 = 0

B. X + Y + 3 = 0

C. – X + Y + 3 = 0

D. X – Y – 3 = 0

25. La ecuación de la línea recta que pasa por el punto (-3,-2) y es perpendicular a la recta X + Y = 3 es:

A. X – Y + 1 = 0

B. X + Y + 1 = 0

C. – X + Y + 1 = 0

D. X – Y – 1 = 0

CIRCUNFERENCIA

ESCRIBE LA FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR LOS PUNTOS CON LAS COORDENADAS DADAS. LUEGO IDENTIFICA EL CENTRO Y EL RADIO DEL CÍRCULO.

1. (7, -1), (11,-5), (3,-5)
2. (1,3), (5,5), (5,3)
3. (5,3), (-2,2), (-1,-5)
4. (-10,-5), (-2,7), (-9,0)
5. (1,3), (5,5) (5,3)
6. (7,-1), (7,5), (1,-1)
7. (2,-1), (-3,0), (1,4)

ESCRIBE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA QUE SATISFACE CADA CONJUNTO DE CONDICIONES.

1. La circunferencia que pasa por (7,-1) y tiene su centro en (-2,4)
2. La circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en (-3,4)
3. Los extremos de un diámetro son los puntos (-2,-3) y (4,5)
4. Los extremos de un diámetro son los puntos (-3,4) y (2,1)

GRAFICAR

1. (x-4)² + (y –1)² = 25
2. (x+3)²+(y+5)²= 16
3. 4x²+4y²= 49
4. (x+3)² + (y+5)² = 16
5. x² + 14x + y² + 6y + 50 = 0
6. Piensa críticamente. Halla el radio y las coordenadas del centro de La circunferencia definida por la ecuación x² + y² – 2x + 4y + 5 = 0. Describe la gráfica.
7. Escribe la ecuación de la familia de las circunferencias en los cuales h = k y el radio es 8. Haz k sea cualquier número real.
8. Si la ecuación de La circunferencia se escribe en forma canónica y h² +k²-r²= 0. ¿Qué se puede decir de la gráfica de la ecuación?

ELIPSE

1) Hallar la ecuación general de la elipse con CENTRO EN EL ORIGEN, foco (0, 3) y su semieje mayor mide 10 unidades.

2) Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el origen, un vértice en (0,8) y un foco en (0,–2 )

3) Obtener la ecuación de la elipse cuyos vértices se localizan en (–5, 9) y (–5 ,1) y la longitud de su lado recto es igual a 3 unidades.

4) Encontrar la ecuación de la elipse con centro en C (3, 1), uno de sus vértices es el punto ( 3, – 2) y la longitud del lado recto es igual a 16/3

5)Dada la ecuación 3x² + 4y² = 12, encontrar las coordenadas de sus elementos.

6) Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan elipses, se pide dibujarlas determinando además los vértices y los focos:

a. 16x² + 25y² = 100

b. 9x² + 4y² = 36

c. 4x² + y² = 16

d. x² + 9y² = 18

e. 4y² + x² = 8

f. 4x² + 9y² = 36

7) En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas. Trace su gráfica.

· Centro en (0, 0); foco en (3, 0); vértice en (5, 0).

· Centro en (0, 0); foco en (-1, 0); vértice en (3, 0).

· Centro en (0, 0); foco en (0, 1); vértice en (0, -2).

· Focos en (± 2, 0); longitud del eje mayor 6.

· Focos en (0, ± 3); las intersecciones con el eje x son ± 2.

· Centro en (0, 0), vértice en (0, 4); b = 1.

· Vértices en (± 5, 0); c = 2.

· Centro en (2, -2), vértice en (7, -2); focos en (4, -2).

· Focos en (5, 1) y (-1, 1); longitud del eje mayor es 8.

· Centro en (1, 2); focos en (1, 4); pasa por el punto (2, 2).

TALLERES PEPA NOVENO GRADO CUARTO PERIODO

Para obtener información del taller para la pepa del cuarto periodo haz clip en el siguiente vinculo
http://docs.google.com/Doc?id=df8qfwb8_13c77nr4c2
En clase resolveremos dudas.

ESTUDIO PARA LAS PEPAS CUARTO PERIODO DECIMO GRADO

Guía Rectas
Calcule la pendiente m y la ecuación general de la recta que pasa respectivamente por los puntos dados a continuación. Grafique y concluya que sucede con la grafica a medida que m cambia.
1. A : (3, 2) y B : (5,-4)
2. A : (4,-1) y B : (-6,-3)
3. A : (2,5) y B : -(7, 5)
4. A : (5,-1) y B : (-5, 6)
5. A : (-3, 2) y B : (-3, 5)
6. A : (4,-2) y B : (-3,-2)
7. A : (6,-7) y B : (1, 9)
8. A : (2,7) y B : (-5, 8)
9. A : (12,-3) y B : (6,-5)
10. A : (4,-5) y B : (-3, 6).
Trace la recta que pasa por P, para cada valor de m.
11. P : (-3,1); m ½, 1/5, -3
12. P : (-2, 4); m -1, -2, -1/2
13. Dada la recta: kx - y = k + 3 , determine un valor de k para que el punto P (-3, 7) pertenezca a dicha recta.
Obtenga en forma general la ecuación de la recta que pasa por el punto A y que satisfaga la condición dada.
14. A : (2,-1) y su pendiente sea -1/2
15. A : (-1, 9) y su pendiente sea 3/4
16. A : (-3, 5); paralela a la recta x + 3= y - 1.
17. A : (7,-3); perpendicular a la recta 2x + 5y = 8.
18. A : (5,-2) perpendicular al eje y.
19. A : (-4, 2) paralela al eje x.
20. A : (-1, 4); pendiente 2/3

Guía Circunferencias
Dadas las siguientes condiciones , determine la ecuación de la circunferencia
1. Centro (2,-3), radio 5.
2. Centro (-4, 1), diámetro 6.
3. Centro (1,4) y que pase por el punto (-3, 2)
4. Centro (2, 13), radio -5
5. Centro (-1/2,-3) y radio -3
6. Que pasa por los puntos (-1,-1), (-3, 2), (5, 7).

Guía Parábolas
Determine la ecuación de la parábola dados los siguientes datos. Trace la gráfica.
1. Foco (-5,0) ; directriz 5 - x = 0.
2. Foco (3,0) directriz x - 1 = 0.
3. Foco (0,-3) ; directriz y + 2 = 0.
4. Vértice (0, 0); se abre a la izquierda, la longitud del lado recto es 6.
5. Vértice (0, 0); se abre hacia arriba; la longitud del lado recto es 3.
6. Vértice (0, 0); directriz 2x = 5.
7. Vértice (0, 0) y cuyo foco es el punto (3, 0)
8. Parábola horizontal que tenga su vértice en el origen, y que pase por el punto (2,-4).
9. Parábola vertical que tenga su vértice en el origen y que pase por el punto (-2,-4).
10. Vértice en (2, 4); foco en (-3, 4).
11. Vértice en (1,-3); directriz y = 1.
12. Foco en (-1, 7); directriz y = 3.
13. Foco en (3, 4); directriz x=4
14. Vértice (4,-1); eje y + 1 = 0 y que pase por el punto (3,-3)
15. Vértice en (3,-2); eje, x = 3; longitud del lado recto 6.
16. Directriz, x = -2; eje, y = 4; la longitud del lado recto es 8.

NO CORRAS

Este es un video que quisiera vieran las personas que les gusta correr en autos.